Conjuntos: saiba os principais tópicos sobre o assunto

A área de conjuntos é uma das principais da Matemática. Ela compreende o estudo dos números: naturais; inteiros; racionais; irracionais; reais e complexos. No artigo a seguir apresentaremos os conceitos mais importantes com detalhes. 

Conheça os principais tópicos sobre conjuntos

A seguir você poderá saber mais sobre os principais tópicos estudados pela área de conjuntos na Matemática.

Conjunto dos números naturais   

• Quando as primeiras civilizações se desenvolveram surgiu a necessidade de aprimorar a agricultura e o comércio.
• Como consequência, os números passaram a ser utilizados para representar quantidades. 
• O primeiro conjunto surgiu naturalmente e daí vem seu nome.
• O conjunto natural é usado para representar quantidades.
• É representado pelo símbolo ℕ.
• É escrito na forma de sequência: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}. 
• Esse conjunto é infinito e fechado para operações de adição e multiplicação. 
• Então sempre que somamos ou multiplicamos números naturais temos como resposta um número natural. 
• Mas, o conjunto não é fechado para operações de subtração e divisão. Como: 5 – 6 = –1 e 3 ÷ 2 = 0,5. 
• -1 e 0,5 não são números naturais e isso justifica a criação e o estudo de novos conjuntos numéricos. 
• Ao adicionar asterisco (*) ao símbolo do conjunto dos números naturais se deve retirar o número zero da lista. ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}. 

Conjunto dos números inteiros

• Esse conjunto surgiu pela necessidade de fazer a operação de subtração sem restrições.
• Quando subtraímos um número menor de outro maior, a resposta não faz parte do conjunto dos números naturais. 
• Esse conjunto é representado por uma sequência numérica infinita.
• É denotado pelo símbolo ℤ.
• ℤ = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}. 
• Nesse caso, também ao se colocar um asterisco no símbolo ℤ, se remove o zero do conjunto. 
• ℤ* = {…, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4…}. 
• O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. 
• O conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros. 

Conjunto dos números racionais

• Esse conjunto é representado pelo símbolo ℚ.
• Não é representado por uma sequência numérica.
• O conjunto é formado por todos os números que podem ser representados na forma de fração. 
• Os elementos do conjunto dos números racionais são representados da seguinte forma: ℚ = {ab │a, b ℤ com b 0}. 
• Todo número inteiro pode ser representado por uma fração. Logo, o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais. 
• O conjunto dos números é subconjunto dos racionais. 
• Número com representação infinita, como as dízimas periódicas também podem ser representados por fração. Então, também são racionais. 

Conjunto dos números irracionais

• Números que não podem ser escritos na forma de fração não pertencem ao conjunto dos números racionais. 
• Esses números que não fazem parte do conjunto dos racionais são chamados de irracionais.
• Os números irracionais se caracterizam pela infinidade da parte decimal e pela não periodicidade. Logo, nenhum número da parte decimal se repete. 
• Um exemplo de número irracionais são as raízes quadradas de números que não quadrados perfeitos como: 2, 3, 6, 5. 
• Também são exemplos de número irracionais as constantes oriundas de razões especiais como o número = 3,14159265. 

Conjunto dos números reais

• Esse conjunto é representado pelo símbolo ℝ.
• É constituído pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. 
• O conjunto dos racionais é a junção dos conjuntos naturais e inteiros. 
• Quando os números reais são dispostos em uma reta, temos o número zero como a origem da reta. 
• A sua direita estarão os números positivos e a sua esquerda estarão os números negativos. 
• O eixo é real e assim podemos dizer que existem infinitos números entre dois números. Esse eixo é infinito tanto na direção positiva quanto na negativa. 

Conjunto dos números complexos

• Esse é o mais recente. 
• Também surgiu para atender a necessidade de fazer uma operação que não pode ser desenvolvida somente com o conjunto dos reais. 

Confira o exemplo da equação abaixo: 

x2 + 1 = 0

x2 = –1

A partir desse exemplo, precisamos encontrar um número que quando elevado ao quadrado resulte em um número negativo. Porém, sabemos que qualquer número elevado ao quadrado sempre é positivo. Então esse cálculo não possui uma solução real. 

Os números complexos foram criados para atender a esses casos. Assim, temos um número imaginário denotado por i que tem o seguinte valor: 

i2 = -1

i = -1

Dessa forma, a equação acima agora possui solução:

x2 = -1

x = -1

x’ = i

x’’ = -i 

Intervalos reais

Há casos em que não utilizamos todo o eixo real, isto é, usamos somente partes dele. Isso é o que se chama de intervalos. Os intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais. Confira algumas notações para esses subconjuntos. 

• Intervalo fechado – sem incluir os extremos. Temos: a < x < b, em que x são todos os números reais contidos nesse intervalo. 
• Intervalo fechado – incluindo os extremos. Temos: a ≤ x ≤ b.
• Intervalo fechado – incluindo um dos extremos. Temos: a ≤ x < b. 
• Intervalo aberto – sem incluir o extremo. Temos: x < b. 
• Intervalo aberto – incluindo o extremo. Temos: x ≥ a. 
• Intervalo aberto – outro caso possível é aquele formado por números maiores e menores do que os fixados na reta real. Temos: x  ≤ a ou x > b. 

Gostou de saber mais sobre os conjuntos? Para conferir mais conteúdos como este e dicas para o Enem e o vestibular, acesse outros posts do blog Hexag!