A equação polinomial diferencia-se por ter um polinômio igual a zero. Também caracteriza-se pelo grau do polinômio, quanto maior for o seu grau mais complexa será sua resolução. Continue lendo para saber mais sobre as equações polinomiais de 1° e 2° grau.
O que é uma equação polinomial?
A equação polinomial caracteriza-se por ter um polinômio igual a zero. Dessa forma toda expressão do tipo P(x) = 0 é uma equação polinomial. Nesse caso, P(x) é um polinômio.
Confira abaixo o caso geral de uma equação polinomial, também apresentaremos alguns exemplos. Devemos considerar an, an-1, an-2, …, a1, a0 e x números reais, além de n ser um número inteiro positivo. Assim, a expressão a seguir é uma equação polinomial de grau n.
P(x) = 0
anXn + an-1Xn-1 + an-2Xn-1 + … a3X3 + a2X3 + a2X2 + a1X + a0 = 0
Confira exemplos de equações polinomiais:
- 3x4 + 4x2 – 1 = 0
- 6x – 1 = 0
- 5x2 – 3 = 0
- 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0
Da mesma forma que os polinômios, as equações polinomiais possuem seu grau. A determinação do grau de uma equação polinomial é feita através do encontro da maior potência que tenha coeficiente diferente de zero. Sendo assim, as equações dos itens anteriores são:
- 3x4 + 4x2 – 1 = 0 – Equação do quarto grau.
- 6x – 1 = 0 – Equação do primeiro grau.
- 5x2 – 3 = 0 – Equação do segundo grau.
- 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0 – Equação do terceiro grau.
Resolvendo uma equação polinomial
A forma como resolvemos uma equação polinomial depende do seu grau. Ressaltamos que quanto maior o grau da equação polinomial maior será a complexidade para a sua resolução.
Neste artigo apresentaremos os métodos de resolução de equações polinomiais de primeiro e segundo graus.
Equação polinomial do primeiro grau
A equação polinomial de primeiro grau é um polinômio de grau 1. Dessa forma podemos escrever uma equação do primeiro grau de uma forma geral. Devemos considerar dois números reais (a e b) sendo a ≠ 0. A equação em questão é escrita da seguinte forma:
ax + b = 0
Como resolver a equação polinomial de primeiro grau?
A resolução dessa equação consiste no uso do princípio de equivalência. Basicamente, tudo que é operado de um lado da igualdade deverá ser operado do outro lado também. A solução da equação do primeiro grau deve ser iniciada com o isolamento da incógnita.
Para fazermos isso é necessário eliminar o b do lado esquerdo da igualdade e na sequência subtrairmos b dos dois lados da igualdade. Confira abaixo como realizar esse processo:
ax + b – b = 0 – b
ax = – b
Perceba que o valor da incógnita x ainda não está isolado. O coeficiente precisa ser eliminado do lado esquerdo da igualdade. Para isso é necessário fazer a divisão dos dois lados por a.
ax = –b
/ax/a = -ba
x = -ba
Confira o exemplo a seguir, da resolução da equação 5x + 25 = 0.
O problema deverá ser resolvido utilizando o princípio da equivalência. Para que esse processo seja facilitado é necessário omitir a escrita da operação do lado esquerdo da igualdade. Basicamente, iremos “passar” o número para o outro lado com a troca de sinal (operação inversa).
5x + 25 = 0
5x = –25
x = -255
x = –5
Equação polinomial do segundo grau
A equação polinomial de segundo grau caracteriza-se por ter um polinômio de grau dois. Deveremos considerar a, b e c como sendo números reais sendo a ≠ 0. A equação de segundo grau é representada por:
ax2 + bx + c = 0
Para resolver essa equação, é possível utilizar o método de Bhaskara ou ainda fazer fatoração.
Método de Bhaskara
Nesse método, temos que as suas raízes são dadas pela fórmula abaixo:
x=-bb2-4ac2a
Confira um exemplo:
Deveremos resolver a seguinte equação: x2 – 3x + 2 = 0.
Os coeficientes dessa equação são, respectivamente:
- a = 1;
- b = – 3;
- c = 2.
Confira a substituição desses valores na fórmula:
∆ = (–3)2 – 4(1)(2)
∆ = 9 – 8
∆= 1
x=-(-3)12(1)
x=312
xI = 3+12 = 2
xII = 3-12 = 1
Fatoração
Confira como podemos fatorar a expressão x2 – 3x + 2 = 0 usando a fatoração de polinômios.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Perceba que temos um produto igualado a zero e um produto que é igual a zero apenas se um dos fatores for igual a zero. Dessa forma temos que:
x – 2 = 0
x = 2
ou
x – 1 = 0
x = 1
Percebeu que encontramos a solução da equação polinomial de segundo grau com dois métodos diferentes? Você pode utilizar esses dois métodos para a resolução desse tipo de questão.
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