Uma função polinomial é definida por uma expressão polinomial. No artigo a seguir, iremos apresentar o conceito de funções polinomiais, alguns exemplos e um pouco sobre os seus gráficos.
O que é função polinomial?
As expressões polinomiais definem as funções polinomiais. Essas funções são representadas pela expressão:
f(x) = an . xn + an-1 . xn-1 + … + a2 . x2 + a1 . x1 + a0 . x0
Sendo:
- n – um número inteiro positivo ou nulo;
- x – variável
- a0, a1, … an-1, an são os coeficientes
Por sua vez, os termos são:
- an . xn,
- an-1 . xn-1,
- … a1 . x,
- a0:
As funções polinomiais são chamadas também de polinômios, pois cada função polinomial está associada a um único polinômio.
O que é um polinômio?
Basicamente, um polinômio consiste em uma sequência de somas e/ou subtrações de monômios (termos formados por letras e números). As letras e números, nos monômios, são conectados por divisões e multiplicações.
Confira exemplos de monômios
- Monômio x / coeficiente 1 / variável x;
- Monômio 4x2 / coeficiente 4 / variável x2;
- Monômio 32 x3 / coeficiente 32 / variável x3.
Os monômios apresentados acima poderiam formar o seguinte polinômio:
32 x3 + 4x2 + x
A esse polinômio pode ser associada a seguinte função polinomial:
f(x) = 32 x3 + 4x2 + x
Essa expressão nos leva a conclusão de que para cada valor de x existe um respectivo valor para f(x).
Como encontrar o valor numérico de um polinômio
Podemos encontrar o valor numérico de um polinômio substituindo um valor numérico na variável x. Confira o exemplo abaixo:
Encontre o valor numérico de: p(x) = 2x3 + x 2– 5x – 4 para x = 3
Resolução
Para resolver essa questão deveremos substituir o valor na variável x:
p(3) = 2x3 + x 2– 5x – 4
p(3) = 2.33 + 3 2– 5.3 – 4
p(3) = 54 + 9- 15 – 4
p(3) = 63 – 15 – 4
p(3) = 48 – 4
p(3) = 44
Grau de uma função polinomial
Os polinômios podem ser classificados de acordo com o expoente mais elevado que possuem, confira abaixo:
- Função polinomial de grau 1: f(x) = x + 6
- Função polinomial de grau 2: g(x) = 2x2 + x – 2
- Função polinomial de grau 3: h(x) = 5x3 + 10x2 – 6x + 15
- Função polinomial de grau 4: p(x) = 20x4 – 15x3+ 5x2 + x – 10
- Função polinomial de grau 5: q(x) = 25x5 + 12x4 – 9x3 + 5x2 + x – 1
Importante
O polinômio nulo é o que possui todos os seus coeficientes iguais a zero. O polinômio, nesse caso, não tem um grau definido.
Gráficos da Função Polinomial
Uma função polinomial pode ser associada a uma função, para isso é necessário atribuir valores a x na expressão p(x). Ao fazer isso encontraremos pares ordenados (x,y), que são os pontos que pertencem ao gráfico. Ao ligar esses pontos temos o esboço do gráfico da função polinomial.
Igualdade de Polinômios
Dizemos que dois polinômios são iguais se apresentam coeficientes de todos os termos de mesmo grau iguais. Confira o exemplo:
Devemos determinar o valor de a, b, c e d para os que polinômios:
p(x) = ax4 + 7x3 + (b + 10)x2-c
e
h(x) = (d + 4)x + 3bx2 + 8.
Para que esses polinômios sejam iguais precisamos que os coeficientes correspondentes sejam iguais. Para isso:
- a = 0 (o polinômio h(x) não possui o termo x4, dessa forma seu valor é igual a zero)
- b + 10 = 3b → 2b = 10 → b = 5
- – c = 8 → c = – 8
- d + 4 = 7 → d = 7 – 4 → d = 3
Operações com Polinômios
A seguir, você poderá conferir como são realizadas operações entre polinômios:
Adição
(- 7x3 + 5x2 – x + 4) + (- 2x2 + 8x -7)
– 7x3 + 5x2 – 2x2 – x + 8x + 4 – 7
– 7x3 + 3x2 + 7x -3
Subtração
(4x2 – 5x + 6) – (3x – 8)
4x2 – 5x + 6 – 3x + 8
4x2 – 8x + 14
Multiplicação
(3x2 – 5x + 8) . (- 2x + 1)
– 6x2 + 3x2 + 10x2 – 5x – 16x + 8
– 6x3 + 13x2 – 21x + 8
Divisão
3x3 – 14x2 + 23x – 10 : x2 – 4x + 5
3x3 – 14x2 + 23x – 10 /x2 – 4x + 5
3x3 – 12x2 + 15x 3x – 2
______________
-2x3 – 12x2 + 15x
+2x3 – 8x + 10
______________
0
Atenção
Na divisão de polinômios é utilizado o método chave. Para usá-lo é necessário primeiro dividir os coeficientes numéricos e em seguida fazer a divisão de potências da mesma base. Para fazer isso devemos conservar a base e subtrair os expoentes. A divisão é formada por:
- dividendo,
- divisor,
- quociente,
- resto.
Teorema do Resto
Esse teorema representa o resto na divisão dos polinômios e tem o seguinte enunciado:
O resto da divisão de um polinômio f(x) por x – a é igual a f(a).
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