Aprender a resolver uma equação linear é importante para áreas como ciências da natureza e matemática. Buscar por valores desconhecidos levou ao desenvolvimento de métodos de resolução de sistemas lineares. Continue lendo para saber mais.
O que é uma equação linear?
As equações são utilizadas para encontrar valores desconhecidos de incógnitas. Uma equação nada mais é do que uma expressão algébrica com igualdade. Essa equação é classificada como linear quando possui expoente de suas incógnitas superior a 1. Confira alguns exemplos abaixo:
- 2x + y = 7 → equação linear com duas incógnitas
- a + 4 = -3 → equação linear com uma incógnita
Em linhas gerais, uma equação linear pode ser descrita por:
a1x1 + a2x2 + a3x3… + anxn = c
Um sistema equação ocorre quando há mais de uma equação linear.
Resolução de sistemas lineares
A seguir, apresentaremos sistemas lineares com duas equações do 1º grau e duas incógnitas. Há diversos métodos para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas. Confira os três métodos mais conhecidos:
- Método da comparação;
- Método da adição;
- Método da substituição.
Todos os três métodos podem ser usados para resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Esses métodos não funcionam tão bem para sistemas com mais equações.
Método da substituição
Esse método consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir na outra equação. Confira um exemplo:
1º passo: isolar uma das incógnitas.
A primeira equação é a I e a segunda equação é a II. Ao analisar ambas, escolheremos a incógnita que será mais fácil de ser isolada. Na equação I → x + 2y = 5, o x não tem coeficiente, isso torna mais fácil de isolar o x. Sendo assim reescreveremos a equação I da seguinte forma:
I → x + 2y = 5
I → x = 5 – 2y
2º passo: substituir I em II.
Nesse ponto, já temos a equação I com o x isolado. Na equação II podemos substituir x por 5 – 2y.
II → 3x – 5y = 4
Substituindo x por 5 – 2y:
3 (5 – 2y) – 5y = 4
Conseguimos que a equação tenha só uma incógnita, agora podemos resolvê-la para encontrar o valor de y.
Ao conhecer o valor de y, encontraremos então o valor de x fazendo a substituição do valor de y na equação I.
I → x = 5 – 2y
x = 5 – 2 · 1
x = 5 – 2
x = 3
Então a solução do sistema é S = {3,1}.
Método da comparação
Nesse método, nós isolaremos uma incógnita nas duas equações e iremos igualar esses valores.
Exemplo:
1° passo
Tanto na equação I quanto na equação II, iremos isolar uma das incógnitas em I e II. Ao escolher isolar a incógnita x, teremos que:
2º passo
Iremos igualar as duas novas equações uma vez x = x.
3º passo
Em seguida iremos substituir o valor de y por -2 numa das equações.
x = -4 – 3y
x = -4 – 3 (-2)
x = -4 + 6
x = 2
Dessa forma, a solução do sistema é o conjunto S = {2,-2}.
Método da adição
Esse método se baseia em multiplicar todos os termos de uma das equações. Então ao somar-se a equação I com a equação II, uma das incógnitas fique igual a zero. Confira o exemplo.
1º passo
Iremos multiplicar uma das equações para que seus coeficientes fiquem opostos. Observe que se multiplicarmos a equação II por 2 teremos 4y na equação II e -4y na equação I. Somando I + II chegaremos a 0y. Multiplicaremos então todos os termos da equação II por 2 para que aconteça.
I → 5x – 4y = -5
2 · II → 2x + 4y = 26
2º passo
Somaremos I + 2 · II.
3º passo
Iremos substituir o valor de x = 3 em uma das equações.
Sistemas lineares com três equações do 1º grau e três incógnitas
Se o sistema possui três incógnitas utilizamos outros métodos de resolução. Esses métodos estabelecem uma relação entre os coeficientes e as matrizes. Os métodos mais usados são a regra de Crammer ou o escalonamento.
A resolução de ambos tem representação matricial do sistema, incluindo o sistema 2×2. Esse sistema pode ser representado através de uma matriz. Existem duas possíveis representações, sendo a matriz completa e a matriz incompleta.
Regra de Crammer
Para usar esse método precisamos calcular o determinante da matriz incompleta e suas variações. Para isso:
- D → determinante da matriz incompleta do sistema.
- Dx → determinante da matriz incompleta do sistema, a coluna de x é substituída pela coluna dos termos independentes.
- Dy → determinante da matriz incompleta do sistema, a coluna de y é substituída pela dos termos independentes.
- Dz → determinante da matriz incompleta do sistema, a coluna de z é substituída pela coluna dos termos independentes.
Para encontrar o valor das incógnitas devemos primeiro calcular o determinante D, Dx, Dy associado ao sistema.
Escalonamento
Nesse método usaremos somente matriz completa e realizaremos operações entre as linhas com o objetivo de isolar suas incógnitas.
Gostou de saber mais sobre equação linear? Para conferir mais conteúdos como este e dicas para o Enem e o vestibular, acesse outros posts do blog Hexag!
