A função exponencial é utilizada para compreender e descrever situações que apresentam crescimento ou queda de forma bastante acelerada.
Existem alguns tipos dessa função, sobre os quais iremos tratar ao longo da postagem. Lembrando que esse é um tema recorrente em provas do Enem e vestibulares.
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O que é função exponencial?
As funções são utilizadas pelo ser humano para a compreensão da relação existente entre as grandezas. Há diferentes tipos de função, sendo um deles a exponencial.
Essa função possui domínio e contradomínio no conjunto dos números reais. Sua variável está em um expoente na sua lei de formação. No caso das funções exponenciais, a lei de formação é sempre a seguinte: f(x) = ax. Sendo que “x” é a variável e “a” é a base.
Como mencionamos acima, as funções exponenciais são empregadas para a descrição de situações que apresentam crescimento ou queda de forma exponencial.
No mercado financeiro, por exemplo, a função exponencial é bastante usada, especialmente em situações que envolvem juros compostos. Essas funções podem ser usadas ainda por áreas como a Biologia(para analisar a reprodução de algumas culturas de bactérias) e na química (para analisar reações).
Uma função exponencial pode ser crescente ou decrescente, isso depende do valor de “a” que é a base. A função é crescente quando a > 1, isto é, quando a base é maior do que 1. Por sua vez, a função é decrescente quando 0 < a <1, ou seja, quando a base está entre 0 e 1. É importante observar que a função exponencial é inversa à função logarítmica.
Exemplo de função exponencial
Confira a seguir um exemplo de função exponencial.
f(x) = 2x
f (x) = 0,5x
f(x) = 1x
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Valor numérico de uma função exponencial: como encontrar?
O valor numérico de uma função exponencial pode ser encontrado substituindo a variável pelo valor desejado. Entenda melhor a partir do exemplo a seguir:
Usaremos nesse exemplo a função com lei de formação f(x) = 3x:
- a) Cálculo de f(2)
f(2) = 32
f(2) = 9
- b) Cálculo de f(– 2)
f(– 2) = 3-2
f(– 2) = (⅓)2
f(– 2) = (12 / 32)
f(– 2) = 1 / 9
- c) Cálculo de f(0)
f(0) = 30
f(0) = 1
Tipos de função exponencial
Há dois tipos de função exponencial: crescente e decrescente.
- Funções crescentes: conforme o valor de x aumenta, há o aumento também de f(x).
- Funções decrescentes: conforme o valor de x diminui, há a redução do valor de f(x).
Para identificar se a função exponencial é f(x) = ax é crescente ou decrescente, é preciso analisar o valor da base a.
Quando a > 1, a função f(x) é crescente.
Exemplo:
f(x) = 2x
f(x) = 1,5x
Já quando 0 < a < 1, temos uma função f(x) decrescente.
Exemplo:
f(x) = (1/2)2
f (x) = 0,4x
Função exponencial: gráfico
A base da função exponencial é sempre positiva, dessa forma, o gráfico da função terá como imagem valores positivos. Isso significa que está sempre acima do eixo x.
Propriedades da função exponencial
Confira abaixo as propriedades da função exponencial.
1ª propriedade
Em uma função exponencial do tipo f(x) = ax, a imagem de x = 0 será sempre 1. Essa é uma consequência da propriedade de potenciação, que diz que todo número elevado a zero é igual a um.
f(0) =a0 = 1
2ª propriedade
Como já citamos, a função exponencial pode ser crescente ou decrescente, contudo, apresenta comportamento exclusivamente crescente quando a base é maior do que 1. Já no caso de ter base “a” com valor entre 0 e 1, o comportamento é decrescente.
3ª propriedade
A função exponencial é injetora. A partir de quaisquer dois números reais distintos, isto é, x1 ≠ x2, teremos f(x1) ≠ f(x1).
4ª propriedade
O gráfico da função exponencial jamais corta o eixo x. A base é sempre um número positivo, então independentemente do quão pequeno seja o valor de x, jamais será igual a 0. Logo, a imagem da função será sempre um número real positivo não nulo.
Função exponencial e função logarítmica
Funções exponenciais são funções inversíveis. A função logarítmica é a função inversa de uma função exponencial. Teremos um gráfico simétrico se traçarmos no mesmo plano cartesiano o gráfico de uma função exponencial de base e de uma função logarítmica de base.
Revisão
Confira abaixo o resumo dos principais pontos a respeito da função exponencial.
- A lei de formação das funções exponenciais é f(x) = ax.
- a é um número real positivo diferente de 1, essa é a base da potência.
- x é a variável da função.
- Funções exponenciais podem ser crescentes ou decrescentes. Quando a > 1 → f(x) é crescente. Mas, se 0 < a < 1 → f(x) então é decrescente.
- Função exponencial é inversa a função logarítmica.
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Perguntas Frequentes (FAQ)
1. O que é uma função exponencial na matemática?
A função exponencial representa uma equação matemática na qual a variável desconhecida aparece no expoente. Ela obedece à lei de formação básica f(x) = a^x. Muitos profissionais aplicam essa equação para calcular o crescimento de bactérias ou os juros compostos no mercado financeiro.
2. Como identificar se a função é crescente ou decrescente?
A identificação correta do formato depende exclusivamente do valor numérico da base “a”. Quando a base apresenta um valor maior do que 1, o gráfico exibe um comportamento crescente. Por outro lado, se a base estiver fixada entre 0 e 1, a matemática considerará a função como decrescente.
3. Por que o gráfico dessa função nunca toca o eixo x?
A linha do gráfico nunca cruza o eixo horizontal porque a base da função carrega sempre um valor estritamente positivo. Consequentemente, independentemente do valor da variável posicionada no expoente, o resultado da operação jamais atingirá o valor numérico de zero.
4. Qual é a relação da função exponencial com a função logarítmica?
Essas duas funções representam operações matemáticas totalmente inversas. Sendo assim, a função logarítmica atua como o inverso exato da equação exponencial. Quando desenhadas juntas no mesmo plano cartesiano, as duas curvas formam figuras perfeitamente simétricas.
